Analisis Probabilitas Dalil Bayes Dan Nilai Harapan
Masalah Monty Hall yaitu sebuah teka-teki yang melibatkan probabilitas dan berasal dari sebuah program permainan Amerika Let's Make a Deal. Nama persoalan ini berasal dari nama pembawa program tersebut, Monty Hall. Masalah ini juga disebut sebagai paradoks Monty Hall; ia yaitu paradoks dalam artian penyelesaian persoalan tersebut yaitu berlawanan dengan intuisi seseorang.
Pernyataan yang populer dari persoalan ini dipublikasikan di majalah Parade:
“Suppose you're on a game show, and you're given the choice of three doors: Behind one door is a car; behind the others, goats. You pick a door, say No. 1, and the host, who knows what's behind the doors, opens another door, say No. 3, which has a goat. He then says to you, "Do you want to pick door No. 2?" Is it to your advantage to switch your choice? (Whitaker 1990)”
Terjemahannya:
“Apabila Anda berada dalam suatu program kuis di TV dan diberikan pilihan untuk menentukan tiga pintu: Di belakang salah satu pintu tersebut terdapat sebuah kendaraan beroda empat dan dua lainnya terdapat kambing. Anda menentukan salah satu pintu, contohnya pintu No. 1, dan pembawa program yang sudah tahu apa yang ada di belakang pintu-pintu tersebut membuka pintu lainnya, contohnya pintu No.3, yang ternyata terdapat seekor kambing. Pembawa program tersebut kemudian berkata kepada anda, "Apakah anda ingin menentukan pintu No. 2?" Apakah mengalihkan pilihan lebih menguntungkan anda?”
Oleh lantaran pemain tidak tahu apa yang ada di belakang kedua pintu sisanya, kebanyakan orang akan berasumsi bahwa setiap pintu akan mempunyai probabilitas yang sama dan mengambil kesimpulan bahwa mengalihkan pilihan tidak akan menaikkan probabilitas pemain untuk memenangkan kendaraan beroda empat tersebut dari 1/3 menjadi 2/3.
Ketika persoalan dan penyelesaiannya muncul di Parade, sekitar 10.000 pembaca, termasuk beratus-ratus profesor matematika, menulis surat kepada majalah tersebut dan mengklaim penyelesaian yang dipublikasikan yaitu salah. Beberapa kontroversi ini disebabkan oleh pernyataan Parade atas persoalan ini yang ambigu secara teknik. Namun, bahkan kalau persoalan ini dinyatakan secara tidak ambigu dan disertai dengan penjelasan-penjelasan, simulasi-simulasi, dan bukti matematika formal, banyak orang yang masih tidak percaya akan tanggapan persoalan tersebut.
Daftar isi
1 Masalah
2 Penyelesaian
3 Sumber kerancuan
4 Cara memahami
4.1 Mengapa probabilitasnya bukanlah 1/2
4.2 Meningkatkan jumlah pintu
4.3 Menggabungkan pintu
5 Analisis Bayes
6 Lihat pula
7 Referensi
Masalah
Steve Selvin menulis sebuah surat kepada majalah The American Statistician pada tahun 1975 yang menanyakan persoalan yang menurut pada program permainan Let's Make a Deal (Selvin 1975a). Dalam surat tersebut, ia menamakannya "Masalah Monty Hall" (Selvin 1975b). Masalah ini secara matematika sama dengan (Morgan et al., 1991) Masalah Tiga Tahanan yang dideskripsikan pada kolom Permainan Matematika (Mathematical Games) Martin Gardner di majalah Scientific American pada tahun 1959 (Gardner 1959).
“
Suppose you're on a game show, and you're given the choice of three doors: Behind one door is a car; behind the others, goats. You pick a door, say No. 1, and the host, who knows what's behind the doors, opens another door, say No. 3, which has a goat. He then says to you, "Do you want to pick door No. 2?" Is it to your advantage to switch your choice? (Whitaker 1990)
”
Terjemahannya:
“
Apabila Anda berada dalam suatu program kuis di TV dan diberikan pilihan untuk menentukan tiga pintu: Di belakang salah satu pintu tersebut terdapat sebuah kendaraan beroda empat dan dua lainnya terdapat kambing. Anda menentukan salah satu pintu, contohnya pintu No. 1, dan pembawa program yang sudah tahu apa yang ada di belakang pintu-pintu tersebut membuka pintu lainnya, contohnya pintu No.3, yang ternyata terdapat seekor kambing. Pembawa program tersebut kemudian berkata kepada anda, "Apakah anda ingin menentukan pintu No. 2?" Apakah mengalihkan pilihan lebih menguntungkan anda?
”Sebenarnya terdapat beberapa ambiguitas dalam formulasi persoalan ini, yaitu tidaklah terang apakah pembawa program tersebut akan selalu membuka pintu yang lainnya, memperlihatkan pilihan untuk mengalihkan pilihan, atau bahkan apakah ia akan membuka pintu yang di dalamnya terdapat kendaraan beroda empat (Mueser and Granberg 1999). Analisa standar pada persoalan ini mempunyai perkiraan bahwa pembawa program tersebut dibatasi untuk selalu membuka pintu yang menampakkan kambing, memperlihatkan pemain untuk mengalihkan pilihannya, dan membuka dua pintu sembarang kalau pilihan pertama pemain bergotong-royong yaitu kendaraan beroda empat (Barbeau 2000:87). Oleh lantaran itu, pernyataan persoalan yang lebih sempurna yaitu sebagai berikut:
“Suppose you're on a game show and you're given the choice of three doors. Behind one door is a car; behind the others, goats. The car and the goats were placed randomly behind the doors before the show. The rules of the game show are as follows: After you have chosen a door, the door remains closed for the time being. The game show host, Monty Hall, who knows what is behind the doors, now has to open one of the two remaining doors, and the door he opens must have a goat behind it. If both remaining doors have goats behind them, he chooses one randomly. After Monty Hall opens a door with a goat, he will ask you to decide whether you want to stay with your first choice or to switch to the last remaining door. Imagine that you chose Door 1 and the host opens Door 3, which has a goat. He then asks you "Do you want to switch to Door Number 2?" Is it to your advantage to change your choice? (Krauss and Wang 2003:10)”
Terjemahannya:
“Apabila Anda berada dalam suatu program kuis di TV dan diberikan pilihan untuk menentukan tiga pintu: Di belakang salah satu pintu tersebut terdapat sebuah kendaraan beroda empat dan dua lainnya terdapat kambing. Mobil dan kambing-kambing tersebut diletakkan secara acak di belakang pintu sebelum program dimulai. Peraturan permainan ini adalah: Setelah anda menentukan sebuah pintu, pintu akan tetap tertutup. Pembawa program Monty Hall yang tahu apa yang ada di belakang pintu-pintu diharuskan untuk menentukan dua pintu sisanya, dan pintu yang ia buka haruslah pintu yang terdapat kambing. Jika kedua pintu sisa tersebut dua-duanya terdapat kambing di belakangnya, maka ia akan menentukan secara acak. Setelah Monty Hall membuka sebuah pintu yang terdapat kambing, ia akan menanyakan Anda apakah Anda ingin bertahan pada pilihan pertama anda atau beralih pada pintu terakhir yang tersisa. Bayangkan anda menentukan Pintu 1 dan pembawa program membuka pintu 3 yang terdapat kambing. Dia kemudian bertanya, "Apakah Anda ingin beralih ke Pintu 2?" Apakah mengalihkan pilihan lebih menguntungkan anda?”
Perlu dicatat bahwa pemain pada awalnya menentukan pintu sembarang (bukan hanya pintu 1) dan pembawa program membuka pintu yang terdapat kambing (tidak seperlunya pintu 3). Selain itu, kita juga berasumsi bahwa pemain tersebut berusaha untuk memenangkan kendaraan beroda empat tersebut.
Penyelesaian
Keseluruhan probabilitas kemenangan dari pengalihan pilihan yaitu tergantung pada lokasi kendaraan beroda empat tersebut. Apabila kita mengikuti perkiraan persoalan di atas dan pemain menentukan pintu 1, maka terdapat tiga skenario:
Pemain menentukan pintu yang di belakangnya terdapat mobil. Pembawa program harus membuka salah satu dari dua pintu sisanya secara acak.
Mobil tersebut berada di belakang pintu 2 dan pembawa program harus membuka pintu 3.
Mobil tersebut berada di belakang pintu 3 dan pembawa program harus membuka pintu 2.
Pemain menentukan Pintu 1
Mobil di belakang Pintu 1
Mobil di belakang Pintu 2
Mobil di belakang Pintu 3
Pembawa program membuka salah satu dari dua pintu
Pembawa program harus membuka Pintu 3
Pembawa program harus membuka Pintu 2
Probabilitas kalah kalau mengalihkan pilihan yaitu 1/6
Probabilitas kalah kalau mengalihkan pilihan yaitu 1/6
Probabilitas menang kalau mengalihkan pilihan yaitu 1/3
Probabilitas menang kalau mengalihkan pilihan yaitu 1/3
Pemain yang menentukan untuk mengalihkan pilihannya akan menang kalau kendaraan beroda empat tersebut berada di dua pintu yang tidak terpilih. Dalam dua perkara tersebut, masing-masing terdapat 1/3 probabilitas kemenangan kalau mengalihkan pilihan, sehingga total probabilitas kemenangan yaitu 2/3.
Penalaran di atas berlaku untuk semua kondisi tanpa perlu kita tahu pembuka program akan membuka pintu yang mana (Morgan dkk. 1991). Hal ini berarti kalau banyak pemain secara acak menentukan untuk mengalihkan pilihan atau tetap pada pilihan semula, maka 1/3 dari mereka yang menentukan untuk tetap pada pilihan semula dan 2/3 dari mereka yang menentukan untuk mengalihkan pilihan akan memenangkan kendaraan beroda empat tersebut. Hasil ini telah diverifikasi secara eksperimen dengan memakai komputer dan teknik-teknik simulasi lainnya. (Lihat pula kepingan Simulasi di bawah).
Diagram pohon yang menjelaskan probabilitas dari setiap kemungkinan kalau pada awalnya pemain menentukan Pintu 1.
Sumber kerancuan
Ketika persoalan Monty Hall ini pertama kali dipaparkan, secara umum dikuasai orang akan berasumsi bahwa setiap pintu mempunyai probabilitas yang sama dan berkesimpulan bahwa mengalihkan pilihan tidak akan ada bedanya (Mueser and Granberg, 1999). Dari 228 responden pada sebuah kajian, hanya 13% yang menentukan untuk mengalihkan pilihan (Granberg and Brown, 1995:713). Dalam bukunya, Kekuatan Berpikir Secara Logika (The Power of Logical Thinking), vos Savant (1996:15) mengutip perkataan psikolog kognitif Massimo Piattelli-Palmarini, "... tidak ada teka-teki statistik lain yang begitu membodohi semua orang di setiap waktu" dan "[menyadari] bahwa bahkan fisikawan peserta hadiah Nobel pun secara sistematis mengatakan tanggapan yang salah, dan mereka bersikeras pada tanggapan mereka yang salah itu, serta bersedia untuk mencacimaki siapapun yang mengatakan tanggapan yang benar."
Kebanyakan pernyataan persoalan ini, terutama yang terdapat pada Majalah Parade tidak mengikuti peraturan program kuis TV yang sebenarnya, dan tidak menjelaskan tingkah laris pembawa program dan lokasi kendaraan beroda empat yang acak secara terang (Granberg and Brown, 1995:712). Krauss dan Wang (2003:10) mengatakan konjektur bahwa orang akan menciptakan perkiraan standar bahkan kalau tidak diberitahukan secara eksplisit. Walaupun ketidakjelasan pernyataan ini merupakan persoalan yang sangat signifikan dalam matematika, bahkan saat kita mengatasi faktor-faktor ketidakjelasan ini hampir semua orang masih tetap berpikir bahwa masing-masing pintu yang tidak terbuka akan mempunyai probabilitas yang sama dan berkesimpulan bahwa mengalihkan pilihan tidak ada bedanya. (Mueser and Granberg, 1999). Asumsi "probabilitas sama" ini berakar besar lengan berkuasa pada intuisi seseorang (Falk 1992:202). Kebanyakan orang mempunyai kecenderungan yang besar lengan berkuasa untuk berpikir bahwa probabilitas akan terdistribusi secara seimbang di setiap anu (unknown) yang tersedia, baik itu benar maupun tidak. (Fox and Levav, 2004:637).
Intuisi lainnya yang juga bertanggung jawab atas kerancuan ini yaitu keyakinan bahwa pemberitahukan informasi yang telah kita ketahui tidak akan memengaruhi probabilitas (Falk 1992:207). Intuisi ini yaitu dasar penyelesaian dari persoalan yang menegaskan bahwa pembawa program yang membuka sebuah pintu tidak akan mengubah probabilitas pemain sebesar 1/3 untuk menentukan mobil. Untuk persoalan yang eksplisit, intuisi ini akan mengantarkan kita pada tanggapan yang benar, yaitu 2/3 peluang menang kalau mengalihkan pilihan, namun intuisi ini juga mengantarkan kita pada tanggapan yang sama saat diberikan variasi persoalan yang berbeda, dan tanggapan intuisi tersebut tidaklah benar (Falk 1992:207).
Sumber kerancuan lainnya terdapat pada susunan kata-kata dari penyataan persoalan yang menanyakan probabilitas bersyarat kemenangan dengan memberitahukan pintu mana yang pembawa program buka ketimbang probabilitas keseluruhan atau probabilitas takbersyarat. Kedua hal ini yaitu pertanyaan yang berbeda secara matematika dan mempunyai tanggapan yang berbeda bergantung pada bagaimana pembawa program menentukan pintu yang ia buka apabila pilihan awal pemain yaitu kendaraan beroda empat (Morgan dkk., 1991; Gillman 1992). Sebagai contoh, kalau pembawa program sebisa mungkin berusaha membuka Pintu 3, maka probabilitas kemenangan pemain yang pada awalnya menentukan Pintu 1 dan kemudian mengalihkan pilihan yaitu 2/3, namun probabilitas ini akan menjadi 1/2 apabila pembawa program telah membuka Pintu 3. Oleh lantaran itu, bentuk kalimat pernyataan yang tidak menjelaskan secara detail tingkah laris pembawa program menjadikan tanggapan probabilitas 2/3 tidak dibenarkan secara matematika. Kebanyakan penyelesaian yang diberikan mengalamatkan probabilitas takbersyarat dan menghiraukan pintu mana yang pembawa program buka; Morgan dkk. menjulukinya sebagai "penyelesaian salah" (false solutions) (1991).
Cara memahami
-->Pernyataan yang populer dari persoalan ini dipublikasikan di majalah Parade:
“Suppose you're on a game show, and you're given the choice of three doors: Behind one door is a car; behind the others, goats. You pick a door, say No. 1, and the host, who knows what's behind the doors, opens another door, say No. 3, which has a goat. He then says to you, "Do you want to pick door No. 2?" Is it to your advantage to switch your choice? (Whitaker 1990)”
Terjemahannya:
“Apabila Anda berada dalam suatu program kuis di TV dan diberikan pilihan untuk menentukan tiga pintu: Di belakang salah satu pintu tersebut terdapat sebuah kendaraan beroda empat dan dua lainnya terdapat kambing. Anda menentukan salah satu pintu, contohnya pintu No. 1, dan pembawa program yang sudah tahu apa yang ada di belakang pintu-pintu tersebut membuka pintu lainnya, contohnya pintu No.3, yang ternyata terdapat seekor kambing. Pembawa program tersebut kemudian berkata kepada anda, "Apakah anda ingin menentukan pintu No. 2?" Apakah mengalihkan pilihan lebih menguntungkan anda?”
Oleh lantaran pemain tidak tahu apa yang ada di belakang kedua pintu sisanya, kebanyakan orang akan berasumsi bahwa setiap pintu akan mempunyai probabilitas yang sama dan mengambil kesimpulan bahwa mengalihkan pilihan tidak akan menaikkan probabilitas pemain untuk memenangkan kendaraan beroda empat tersebut dari 1/3 menjadi 2/3.
Ketika persoalan dan penyelesaiannya muncul di Parade, sekitar 10.000 pembaca, termasuk beratus-ratus profesor matematika, menulis surat kepada majalah tersebut dan mengklaim penyelesaian yang dipublikasikan yaitu salah. Beberapa kontroversi ini disebabkan oleh pernyataan Parade atas persoalan ini yang ambigu secara teknik. Namun, bahkan kalau persoalan ini dinyatakan secara tidak ambigu dan disertai dengan penjelasan-penjelasan, simulasi-simulasi, dan bukti matematika formal, banyak orang yang masih tidak percaya akan tanggapan persoalan tersebut.
Daftar isi
1 Masalah
2 Penyelesaian
3 Sumber kerancuan
4 Cara memahami
4.1 Mengapa probabilitasnya bukanlah 1/2
4.2 Meningkatkan jumlah pintu
4.3 Menggabungkan pintu
5 Analisis Bayes
6 Lihat pula
7 Referensi
Masalah
Steve Selvin menulis sebuah surat kepada majalah The American Statistician pada tahun 1975 yang menanyakan persoalan yang menurut pada program permainan Let's Make a Deal (Selvin 1975a). Dalam surat tersebut, ia menamakannya "Masalah Monty Hall" (Selvin 1975b). Masalah ini secara matematika sama dengan (Morgan et al., 1991) Masalah Tiga Tahanan yang dideskripsikan pada kolom Permainan Matematika (Mathematical Games) Martin Gardner di majalah Scientific American pada tahun 1959 (Gardner 1959).
“
Suppose you're on a game show, and you're given the choice of three doors: Behind one door is a car; behind the others, goats. You pick a door, say No. 1, and the host, who knows what's behind the doors, opens another door, say No. 3, which has a goat. He then says to you, "Do you want to pick door No. 2?" Is it to your advantage to switch your choice? (Whitaker 1990)
”
Terjemahannya:
“
Apabila Anda berada dalam suatu program kuis di TV dan diberikan pilihan untuk menentukan tiga pintu: Di belakang salah satu pintu tersebut terdapat sebuah kendaraan beroda empat dan dua lainnya terdapat kambing. Anda menentukan salah satu pintu, contohnya pintu No. 1, dan pembawa program yang sudah tahu apa yang ada di belakang pintu-pintu tersebut membuka pintu lainnya, contohnya pintu No.3, yang ternyata terdapat seekor kambing. Pembawa program tersebut kemudian berkata kepada anda, "Apakah anda ingin menentukan pintu No. 2?" Apakah mengalihkan pilihan lebih menguntungkan anda?
”Sebenarnya terdapat beberapa ambiguitas dalam formulasi persoalan ini, yaitu tidaklah terang apakah pembawa program tersebut akan selalu membuka pintu yang lainnya, memperlihatkan pilihan untuk mengalihkan pilihan, atau bahkan apakah ia akan membuka pintu yang di dalamnya terdapat kendaraan beroda empat (Mueser and Granberg 1999). Analisa standar pada persoalan ini mempunyai perkiraan bahwa pembawa program tersebut dibatasi untuk selalu membuka pintu yang menampakkan kambing, memperlihatkan pemain untuk mengalihkan pilihannya, dan membuka dua pintu sembarang kalau pilihan pertama pemain bergotong-royong yaitu kendaraan beroda empat (Barbeau 2000:87). Oleh lantaran itu, pernyataan persoalan yang lebih sempurna yaitu sebagai berikut:
“Suppose you're on a game show and you're given the choice of three doors. Behind one door is a car; behind the others, goats. The car and the goats were placed randomly behind the doors before the show. The rules of the game show are as follows: After you have chosen a door, the door remains closed for the time being. The game show host, Monty Hall, who knows what is behind the doors, now has to open one of the two remaining doors, and the door he opens must have a goat behind it. If both remaining doors have goats behind them, he chooses one randomly. After Monty Hall opens a door with a goat, he will ask you to decide whether you want to stay with your first choice or to switch to the last remaining door. Imagine that you chose Door 1 and the host opens Door 3, which has a goat. He then asks you "Do you want to switch to Door Number 2?" Is it to your advantage to change your choice? (Krauss and Wang 2003:10)”
Terjemahannya:
“Apabila Anda berada dalam suatu program kuis di TV dan diberikan pilihan untuk menentukan tiga pintu: Di belakang salah satu pintu tersebut terdapat sebuah kendaraan beroda empat dan dua lainnya terdapat kambing. Mobil dan kambing-kambing tersebut diletakkan secara acak di belakang pintu sebelum program dimulai. Peraturan permainan ini adalah: Setelah anda menentukan sebuah pintu, pintu akan tetap tertutup. Pembawa program Monty Hall yang tahu apa yang ada di belakang pintu-pintu diharuskan untuk menentukan dua pintu sisanya, dan pintu yang ia buka haruslah pintu yang terdapat kambing. Jika kedua pintu sisa tersebut dua-duanya terdapat kambing di belakangnya, maka ia akan menentukan secara acak. Setelah Monty Hall membuka sebuah pintu yang terdapat kambing, ia akan menanyakan Anda apakah Anda ingin bertahan pada pilihan pertama anda atau beralih pada pintu terakhir yang tersisa. Bayangkan anda menentukan Pintu 1 dan pembawa program membuka pintu 3 yang terdapat kambing. Dia kemudian bertanya, "Apakah Anda ingin beralih ke Pintu 2?" Apakah mengalihkan pilihan lebih menguntungkan anda?”
Perlu dicatat bahwa pemain pada awalnya menentukan pintu sembarang (bukan hanya pintu 1) dan pembawa program membuka pintu yang terdapat kambing (tidak seperlunya pintu 3). Selain itu, kita juga berasumsi bahwa pemain tersebut berusaha untuk memenangkan kendaraan beroda empat tersebut.
Penyelesaian
Keseluruhan probabilitas kemenangan dari pengalihan pilihan yaitu tergantung pada lokasi kendaraan beroda empat tersebut. Apabila kita mengikuti perkiraan persoalan di atas dan pemain menentukan pintu 1, maka terdapat tiga skenario:
Pemain menentukan pintu yang di belakangnya terdapat mobil. Pembawa program harus membuka salah satu dari dua pintu sisanya secara acak.
Mobil tersebut berada di belakang pintu 2 dan pembawa program harus membuka pintu 3.
Mobil tersebut berada di belakang pintu 3 dan pembawa program harus membuka pintu 2.
Pemain menentukan Pintu 1
Mobil di belakang Pintu 1
Mobil di belakang Pintu 2
Mobil di belakang Pintu 3
Pembawa program membuka salah satu dari dua pintu
Pembawa program harus membuka Pintu 3
Pembawa program harus membuka Pintu 2
Probabilitas kalah kalau mengalihkan pilihan yaitu 1/6
Probabilitas kalah kalau mengalihkan pilihan yaitu 1/6
Probabilitas menang kalau mengalihkan pilihan yaitu 1/3
Probabilitas menang kalau mengalihkan pilihan yaitu 1/3
Pemain yang menentukan untuk mengalihkan pilihannya akan menang kalau kendaraan beroda empat tersebut berada di dua pintu yang tidak terpilih. Dalam dua perkara tersebut, masing-masing terdapat 1/3 probabilitas kemenangan kalau mengalihkan pilihan, sehingga total probabilitas kemenangan yaitu 2/3.
Penalaran di atas berlaku untuk semua kondisi tanpa perlu kita tahu pembuka program akan membuka pintu yang mana (Morgan dkk. 1991). Hal ini berarti kalau banyak pemain secara acak menentukan untuk mengalihkan pilihan atau tetap pada pilihan semula, maka 1/3 dari mereka yang menentukan untuk tetap pada pilihan semula dan 2/3 dari mereka yang menentukan untuk mengalihkan pilihan akan memenangkan kendaraan beroda empat tersebut. Hasil ini telah diverifikasi secara eksperimen dengan memakai komputer dan teknik-teknik simulasi lainnya. (Lihat pula kepingan Simulasi di bawah).
Diagram pohon yang menjelaskan probabilitas dari setiap kemungkinan kalau pada awalnya pemain menentukan Pintu 1.
Sumber kerancuan
Ketika persoalan Monty Hall ini pertama kali dipaparkan, secara umum dikuasai orang akan berasumsi bahwa setiap pintu mempunyai probabilitas yang sama dan berkesimpulan bahwa mengalihkan pilihan tidak akan ada bedanya (Mueser and Granberg, 1999). Dari 228 responden pada sebuah kajian, hanya 13% yang menentukan untuk mengalihkan pilihan (Granberg and Brown, 1995:713). Dalam bukunya, Kekuatan Berpikir Secara Logika (The Power of Logical Thinking), vos Savant (1996:15) mengutip perkataan psikolog kognitif Massimo Piattelli-Palmarini, "... tidak ada teka-teki statistik lain yang begitu membodohi semua orang di setiap waktu" dan "[menyadari] bahwa bahkan fisikawan peserta hadiah Nobel pun secara sistematis mengatakan tanggapan yang salah, dan mereka bersikeras pada tanggapan mereka yang salah itu, serta bersedia untuk mencacimaki siapapun yang mengatakan tanggapan yang benar."
Kebanyakan pernyataan persoalan ini, terutama yang terdapat pada Majalah Parade tidak mengikuti peraturan program kuis TV yang sebenarnya, dan tidak menjelaskan tingkah laris pembawa program dan lokasi kendaraan beroda empat yang acak secara terang (Granberg and Brown, 1995:712). Krauss dan Wang (2003:10) mengatakan konjektur bahwa orang akan menciptakan perkiraan standar bahkan kalau tidak diberitahukan secara eksplisit. Walaupun ketidakjelasan pernyataan ini merupakan persoalan yang sangat signifikan dalam matematika, bahkan saat kita mengatasi faktor-faktor ketidakjelasan ini hampir semua orang masih tetap berpikir bahwa masing-masing pintu yang tidak terbuka akan mempunyai probabilitas yang sama dan berkesimpulan bahwa mengalihkan pilihan tidak ada bedanya. (Mueser and Granberg, 1999). Asumsi "probabilitas sama" ini berakar besar lengan berkuasa pada intuisi seseorang (Falk 1992:202). Kebanyakan orang mempunyai kecenderungan yang besar lengan berkuasa untuk berpikir bahwa probabilitas akan terdistribusi secara seimbang di setiap anu (unknown) yang tersedia, baik itu benar maupun tidak. (Fox and Levav, 2004:637).
Intuisi lainnya yang juga bertanggung jawab atas kerancuan ini yaitu keyakinan bahwa pemberitahukan informasi yang telah kita ketahui tidak akan memengaruhi probabilitas (Falk 1992:207). Intuisi ini yaitu dasar penyelesaian dari persoalan yang menegaskan bahwa pembawa program yang membuka sebuah pintu tidak akan mengubah probabilitas pemain sebesar 1/3 untuk menentukan mobil. Untuk persoalan yang eksplisit, intuisi ini akan mengantarkan kita pada tanggapan yang benar, yaitu 2/3 peluang menang kalau mengalihkan pilihan, namun intuisi ini juga mengantarkan kita pada tanggapan yang sama saat diberikan variasi persoalan yang berbeda, dan tanggapan intuisi tersebut tidaklah benar (Falk 1992:207).
Sumber kerancuan lainnya terdapat pada susunan kata-kata dari penyataan persoalan yang menanyakan probabilitas bersyarat kemenangan dengan memberitahukan pintu mana yang pembawa program buka ketimbang probabilitas keseluruhan atau probabilitas takbersyarat. Kedua hal ini yaitu pertanyaan yang berbeda secara matematika dan mempunyai tanggapan yang berbeda bergantung pada bagaimana pembawa program menentukan pintu yang ia buka apabila pilihan awal pemain yaitu kendaraan beroda empat (Morgan dkk., 1991; Gillman 1992). Sebagai contoh, kalau pembawa program sebisa mungkin berusaha membuka Pintu 3, maka probabilitas kemenangan pemain yang pada awalnya menentukan Pintu 1 dan kemudian mengalihkan pilihan yaitu 2/3, namun probabilitas ini akan menjadi 1/2 apabila pembawa program telah membuka Pintu 3. Oleh lantaran itu, bentuk kalimat pernyataan yang tidak menjelaskan secara detail tingkah laris pembawa program menjadikan tanggapan probabilitas 2/3 tidak dibenarkan secara matematika. Kebanyakan penyelesaian yang diberikan mengalamatkan probabilitas takbersyarat dan menghiraukan pintu mana yang pembawa program buka; Morgan dkk. menjulukinya sebagai "penyelesaian salah" (false solutions) (1991).
Cara memahami
Mengapa probabilitasnya bukanlah 1/2
Kebanyakan orang akan menerka bencana yang lampau (pembawa program membuka pintu yang di belakangnya terdapat kambing) sanggup diabaikan saat kita memperkirakan probabilitas persoalan ini dan tidak ada kekerabatan antara pilihan pemain dengan pintu yang pembawa program buka. Namun bergotong-royong pilihan pemain akan memengaruhi pilihan pembawa acara.
Hal ini sanggup kita mengerti apabila kita bandingkan dengan variasi persoalan yang diajukan vos Savant pada bulan November 2006. Dalam versi yang berbeda ini, Monty Hall lupa pintu mana yang di belakangnya terdapat mobil. Dia kemudian membuka pintu secara acak dan lega sehabis mengetahui pintu yang ia buka ternyata terdapat kambing. Apabila ditanyai apakah kontestan ingin mengalihkan pilihan, vos Savant menjawab, "Jika pembawa program saja tidak tahu, maka tidak ada bedanya antara tetap pada pilihan maupun mengalihkan pilihan. Jika ia tahu, maka alihkanlah pilihan." (vos Savant, 2006).
Dalam teka-teki versi ini, pemain mempunyai kesempatan untuk menang yang sama baik ia beralih maupun tidak. Terdapat enam kemungkinan bencana yang sanggup terjadi, masing-masing mempunyai probabilitas 1/6:
Pemain
memilih
Pembawa acara
menampakkan
Pintu ke-3
terdapat
Kambing A
Mobil
Kambing B
Kambing B
Mobil
Kambing A
Kambing A
Kambing B
Mobil
Kambing B
Kambing A
Mobil
Mobil
Kambing A
Kambing B
Mobil
Kambing B
Kambing A
Dalam dua perkara pertama, pembawa program menampakkan mobil. Namun menyerupai yang telah dinyatakan dalam persoalan awal, pembawa program niscaya akan menampakkan kambing, sehingga:
Pemain
memilih
Pembawa acara
menampakkan
Pintu ke-3
terdapat
Kambing A
Kambing B
Mobil
Kambing B
Kambing A
Mobil
Kambing A
Kambing B
Mobil
Kambing B
Kambing A
Mobil
Mobil
Kambing A
Kambing B
Mobil
Kambing B
Kambing A
Probabilitas pemain untuk memenangkan permainan dengan mengalihkan pilihannya akan naik menjadi 2/3 lantaran dalam dua perkara pertama, pembawa program dipaksa untuk menampakkan kambing. Perubahan ini mengubah probabilitas "Pintu ke-3" untuk terdapat kendaraan beroda empat menjadi dua kali lipat. Inilah alasannya mengapa mengalihkan pilihan akan meningkatkan peluang kemenangan kalau pembawa program tersebut tahu apa yang ada di belakang pintu-pintu tersebut.
Meningkatkan jumlah pintu
Penyelesaian persoalan ini akan lebih gampang dimengerti apabila jumlah pintu dalam permasalahan ini yaitu 1.000.000 pintu daripada hanya 3 pintu saja (vos Savant 1990). Dalam perkara ini, pembawa program membuka 999.998 pintu yang terdapat kambing dan hanya menyisakan pintu pilihan pemain dan satu pintu sisanya. Pembawa program kemudian memperlihatkan pemain kesempatan untuk mengalihkan pilihan. Pintu yang tersisa akan mempunyai probabilitas 999.999/1.000.0000 untuk terdapat kendaraan beroda empat lantaran pintu yang dipilih pemain mempunyai probabilitas 999.999/1.000.0000 untuk terdapat kambing. Pemain yang berpikiran rasional akan mengalihkan pilihannya.
Menggabungkan pintu
Daripada membuka salah satu pintu dan memperlihatkan bahwa pintu tersebut terdapat kambing, kita sanggup melaksanakan tindakan yang setara dengan menggabungkan dua pintu yang tidak dipilih pemain. Kedua tindakan tersebut yaitu setara lantaran pemain tidak sanggup dan tidak akan menentukan pintu yang telah terbuka (Adams 1990; Devlin 2003; Williams 2004; Stibel dkk., 2008). Oleh lantaran itu pemain hanya mempunyai dua pilihan, yaitu tetap pada pilihan semula dengan probabilitas kemenangan 1/3 atau mengubah pilihannya ke pintu lainnya yang mempunyai probabilitas 2/3.
Asumsi permainan sangat penting dalam hal ini; tidakan mengalihkan pilihan setara dengan menentukan dua pintu secara bersamaan kalau dan hanya kalau pembawa program tahu apa yang ada di belakang pintu-pintu tersebut, membuka pintu yang terdapat kambing, dan menentukan salah satu dari pintu yang terdapat kambing (jika pilihan pemain yaitu pintu yang terdapat mobil) secara acak.
[sunting] Analisis Bayes
Analisis persoalan yang memakai formalisme teori probabilitas Bayes (Gill 2002) menerangkan secara eksplisit pentingnya penetapan perkiraan dalam persoalan ini. Dalam teori ini, probabilitas diasosiasikan dengan proposisi dan tergantung pada informasi latar belakang apapun yang diketahui.Untuk persoalan ini, informasi latar belakangnya yaitu peraturan permainan, dan proposisnya adalah:
: Mobil berada di pintu i, i sama dengan 1,2, atau 3.
: Pembawa program membuka pintu j sehabis pemain menentukan pintu i, i dan j sama dengan 1, 2 atau 3.
Sebagai contoh, pertanda proposisi kendaraan beroda empat di belakang pintu 1 dan pertanda pembawa program membuka pintu 2 sehabis pemain menentukan pintu 1. Dengan mengindikasikan informasi latar dengan , perkiraan sanggup dinyatakan secara formal sebagai berikut:
Pertama-tama, kendaraan beroda empat sanggup berada di pintu manapun, dan semua pintu secara a priori mempunyai peluang yang sama menyembunyikan mobil. Dalam hal ini, a priori berarti sebelum permainan di mulai, atau sebelum melihat kambing. Karenanya, probabilitas awal proposisi adalah:
Kedua, pembawa program akan selalu membuka pintu yang tidak terdapat kendaraan beroda empat di belakangnya dan menentukan salah satu dari dua pintu yang pemain tidak pilih. Jika kedua pintu tersebut memungkinkan untuk dibuka, maka kedua-duanya mempunyai peluang yang sama untuk dibuka. Aturan ini menentukan probabiltas bersyarat dari proposisi tergantung pada keberadaan kendaraan beroda empat tersebut:
kalau i = j, (pembawa program tidak sanggup membuka pintu yang dipilih pemain)
kalau j = k, (pembawa program tidak sanggup membuka pintu yang terdapat kendaraan beroda empat di belakangnya)
kalau i = k, (kedua pintu yang tidak terdapat kendaraan beroda empat mempunyai peluang yang sama untuk dibuka)
kalau i k dan j k, (hanya terdapat satu pintu yang tersedia untuk dibuka)
Masalah ini sanggup diselesaikan kini dengan menentukan probabilitas posterior kemenangan pada setiap kemungkinan. Tanpa menghilangkan generalitas, kita asumsikan pemain menentukan pintu 1 dan pembawa program membuka pintu 3 dan menampakkan kambing. Dengan kata lain, pembawa program melaksanakan proposisi .
Probabilitas posterior kemenangan dengan tidak beralih pada pintu yang lain, bergantung pada peraturan permainan dan , ditulis . Dengan memakai Teorema Bayes, hal ini sanggup diekspresikan sebagai:
Dengan perkiraan di atas, pembilang pada sisi kanan persamaannya adalah:
Tetapan penormalan pada penyebut sanggup dievaluasi dengan mengembangkannya memakai definisi probabilitas marginal dan probabilitas bersyarat:
Pembagian pembilang dengan tetapan penormalan menghasilkan:
Perhatikan bahwa ini sama dengan probabilitas awal kendaraan beroda empat berada di belakang pintu yang dipilih, hal ini berarti tindakan pembawa program belum mengatakan bantuan apapun pada probabilitas.
Probabilitas kemenangan dengan mengalihkan pilihan menjadi pintu 2, , sanggup dievaluasi dengan mengambil keseluruhan probabilitas posterior proposisi sebagai 1:
Tidak ada kendaraan beroda empat di belakang pintu 3 lantaran pembawa program telah membukanya, maka haruslah 0. Hal ini sanggup dibuktikan dengan memakai teorema Bayes dan hasil perhitungan sebelumnya:
Maka:
Ini memperlihatkan bahwa seni administrasi untuk memenangkan permainan yaitu mengalihkan pilihan ke pintu 2. Ini juga menjelaskan tindakan pembawa program yang memperlihatkan kambing berada di pintu 3 mengakibatkan transfer probabilitas a priori sebesar 1/3 ke pintu sisanya yang tidak dibuka maupun dipilih, sehingga menjadikan pintu tersebut mempunyai peluang yang lebih besar untuk terdapat mobil.
Lihat pula
Paradoks kotak Bertrand (dikenal juga sebagai persoalan tiga kartu)
Lelaki atau perempuan
Masalah Tiga Tahanan
Masalah dua amplop
Referensi
Adams, Cecil (1990)."On 'Let's Make a Deal,' you pick Door #1. Monty opens Door #2—no prize. Do you stay with Door #1 or switch to #3?", The Straight Dope, (November 2 1990). Retrieved July 25, 2005.
Bapeswara Rao, V. V. and Rao, M. Bhaskara (1992). "A three-door game show and some of its variants". The Mathematical Scientist 17(2): 89–94.
Barbeau, Edward (2000). Mathematical Fallacies, Flaws and Flimflam. The Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-529-1.
Bloch, Andy (2008). "21 - The Movie (my review)". Diakses pada 5 Mei 2008.
D'Ariano, G.M et al. (2002). "The Quantum Monty Hall Problem" (PDF). Los Alamos National Laboratory, (February 21, 2002). Retrieved January 15, 2007.
Devlin, Keith (July – August 2003). "Devlin's Angle: Monty Hall". The Mathematical Association of America. Diakses pada 25 April 2008.
Falk, Ruma (1992). "A closer look at the probabilities of the notorius three prisoners," Cognition 43: 197–223.
Flitney, Adrian P. and Abbott, Derek (2002). "Quantum version of the Monty Hall problem," Physical Review A, 65, Art. No. 062318, 2002.
Fox, Craig R. and Levav, Jonathan (2004). "Partition-Edit-Count: Naive Extensional Reasoning in Judgment of Conditional Probability," Journal of Experimental Psychology: General 133(4): 626-642.
Gardner, Martin (1959). "Mathematical Games" column, Scientific American, October 1959, pp. 180–182. Reprinted in The Second Scientific American Book of Mathematical Puzzles and Diversions.
Gardner, Martin (2001). A Gardner's Workout: Training the Mind and Entertaining the Spirit. A K Peters, Ltd.. ISBN 1-56881-120-9.
Gill, Jeff (2002). Bayesian Methods, pp. 8–10. CRC Press. ISBN 1-58488-288-3.
Gillman, Leonard (1992). "The Car and the Goats," American Mathematical Monthly 99: 3–7.
Granberg, Donald (1996). "To Switch or Not to Switch". Appendix to vos Savant, Marilyn, The Power of Logical Thinking. St. Martin's Press. ISBN 0-612-30463-3.
Granberg, Donald and Brown, Thad A. (1999). "The Monty Hall Dilemma," Personality and Social Psychology Bulletin 21(7): 711-729.
Grinstead, Charles M. and Snell, J. Laurie (Kesalahan: waktu tidak valid) (PDF). Grinstead and Snell’s Introduction to Probability. Online version of Introduction to Probability, 2nd edition, published by the American Mathematical Society, Copyright (C) 2003 Charles M. Grinstead and J. Laurie Snell.. Diakses pada 2 April 2008.
Hall, Monty (1975). The Monty Hall Problem. LetsMakeADeal.com. Includes May 12, 1975 letter to Steve Selvin. Retrieved January 15, 2007.
Krauss, Stefan and Wang, X. T. (2003). "The Psychology of the Monty Hall Problem: Discovering Psychological Mechanisms for Solving a Tenacious Brain Teaser," Journal of Experimental Psychology: General 132(1). Retrieved from http://www.usd.edu/ xtwang/Papers/MontyHallPaper.pdf March 30, 2008.
Magliozzi, Tom; Magliozzi, Ray (1998). Haircut in Horse Town: & Other Great Car Talk Puzzlers. Diane Pub Co.. ISBN 0-7567-6423-8.
Martin, Phillip (1989). "The Monty Hall Trap", Bridge Today, May–June 1989. Reprinted in Granovetter, Pamela and Matthew, ed. (1993), For Experts Only, Granovetter Books.
Morgan, J. P., Chaganty, N. R., Dahiya, R. C., & Doviak, M. J. (1991). "Let's make a deal: The player's dilemma," American Statistician 45: 284-287.
Mueser, Peter R. and Granberg, Donald (May 1999). "The Monty Hall Dilemma Revisited: Understanding the Interaction of Problem Definition and Decision Making", University of Missouri Working Paper 99-06. Retrieved July 5, 2005.
Selvin, Steve (1975a). "A problem in probability" (letter to the editor). American Statistician 29(1): 67 (February 1975).
Selvin, Steve (1975b). "On the Monty Hall problem" (letter to the editor). American Statistician 29(3): 134 (August 1975).
Stibel, Jeffrey, Dror, Itiel, & Ben-Zeev, Talia (2008). "The Collapsing Choice Theory: Dissociating Choice and Judgment in Decision Making," Theory and Decision. Published online at http://www.springerlink.com/content/v65v2841q3820622/.
Tierney, John (1991). "Behind Monty Hall's Doors: Puzzle, Debate and Answer?", The New York Times, 1991-07-21. Retrieved on 2008-01-18.
Tierney, John (2008). "And Behind Door No. 1, a Fatal Flaw", The New York Times, 2008-04-08. Retrieved on 2008-04-08.
vos Savant, Marilyn (1990). "Ask Marilyn" column, Parade Magazine p. 16 (9 September 1990).
vos Savant, Marilyn (1996). The Power of Logical Thinking. St. Martin's Press. ISBN 0-612-30463-3.
vos Savant, Marilyn (2006). "Ask Marilyn" column, Parade Magazine p. 6 (26 November 2006).
Williams, Richard (2004). "Appendix D: The Monty Hall Controversy" (PDF). Course notes for Sociology Graduate Statistics I. Diakses pada 25 April 2008.
Whitaker, Craig F. (1990). [Letter]. "Ask Marilyn" column, Parade Magazine p. 16 (9 September 1990).